Question

已知点P是抛物线y²=4x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A 的坐标是（4，a），则当|a|＞4时，|PA|+|PM|的最小值是（　　）

• A、

  a2+9

• B、

  a2+9

  -1
• C、a+3
• D、

  a2+3

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：先看当x=4时根据抛物线方程求得纵坐标的绝对值，而|a|＞4，明A（4，a）是在抛物线之外抛物线焦点和准线可求得，延长PM交L：x=-1于点N，必有：|PM|=|PN|-|MN|=|PN|-1根据抛物线的定义，可知：抛物线上的点P到准线x=-1的距离等于其到焦点F（1，0）的距离进而判断出|PA|+|PM|=|PF|+|PA|-1，只需求出|PF|+|PA|的最小值即可．由于A在抛物线之外，可由图象的几何位置判断出：AF必与抛物线交于一点，设此点为P'，看p和P'的重合与不重合两种情况分别求得最小值，最后综合可得答案．

解答：
解：当x=4时，y²=4×4=16，所以y=±4，即|y|=4，因为|a|＞4，所以点A在抛物线的外侧，延长PM交直线x=-1，由抛物线的定义可知|PN|=|PM|+1=|PF|，当，三点A，P，F共线时，|PA|+|PF|最小，此时为|PA|+|PF|=|AF|，又焦点坐标为F（1，0），所以|AF|=

(4-1)2+a2

=

9+a2

，即|PM|+1+|PA|的最小值为

a2+9

，所以|PM|+|PA|的最小值为

a2+9

-1，
故选：B．

点评：本题主要考查了抛物线的应用，以及抛物线定义的应用．考查了学生对抛物线定义的理解和应用．