Question

已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面边长为2，．
（1）求该四棱柱的侧面积与体积；
（2）若E为线段A₁D的中点，求BE与平面ABCD所成角的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）题目给出的是正四棱柱，给出了底面边长和一条侧面对角线的长，所以先求出正四棱柱的侧棱长，也就是四棱柱的高，直接利用侧面积公式及体积公式求解该四棱柱的侧面积与体积；
（2）在平面ADD₁A₁内过E作EF⊥AD，由面面垂直的性质可得EF⊥底面ABCD，连接BF后，则∠EBF为要求的线面角，然后通过求解直角三角形求出∠EBF的正切值，利用反三角函数可表示出要求的角．
解答：解：（1）根据题意可得：在 Rt△AA₁D中，
．
所以正四棱柱的侧面积S=（2×3）×4=24．
体积V=2×2×3=12；
（2）如图，

过E作EF⊥AD，垂足为F，连结BF，则EF⊥平面ABCD，
∵BE?平面ABCD，∴EF⊥BF
在 Rt△BEF中，∠EBF就是BE与平面ABCD所成的角
∵EF⊥AD，AA₁⊥AD，∴EF∥AA₁，
又E是A₁D的中点，∴EF是△AA₁D的中位线，
∴
在 Rt△AFB中，
∴．
∴．
点评：本题考查了柱体的侧面积与体积，考查了线面角，解答此题的关键是利用面面垂直的性质定理找到线面角，此题属中档题．