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已知向量
a
=(1,
3
)
b
=(-2,0).
(Ⅰ) 求向量
a
-
b
的坐标以及
a
-
b
a
的夹角;
(Ⅱ)当t∈[-1,1]时,求|
a
-t
b
|的取值范围.
分析:(Ⅰ)求出 
a
 -
b
  的坐标,设
a
-
b
 与
a
的夹角为 θ,则由 cos<
a
-
b
a
>=
(
a
-
b
) •
a
|
a
-
b
|•|
a
|
 求出 θ 
的值.
(Ⅱ)当t∈[-1,1]时,
a
-t •
b
=(1+2t,
3
 ),得|
a
-t •
b
|=
(1+2t )2+3
=
4t2+4t+4
 
在[-1,-
1
2
]上单调递减,在[-
1
2
,1]单调递增,由二次函数的性质求得|
a
-t •
b
|的取值范围.
解答:解:(Ⅰ) 
a
 -
b
=(1,
3
 )-(-2,0 )=( 3,
3
 ),设
a
-
b
 与
a
的夹角为 θ,
则 cos<
a
-
b
a
>=
(
a
-
b
) •
a
|
a
-
b
|•|
a
|
=
3•(-2)+0
9+3
1+3
=-
3
2

根据题意得 0≤θ≤π,∴θ=
6

(Ⅱ)当t∈[-1,1]时,
a
-t •
b
=(1+2t,
3
 ),
∴|
a
-t •
b
|=
(1+2t )2+3
=
4t2+4t+4
 在[-1,-
1
2
]上单调递减,在[-
1
2
,1]单调递增,
∴t=-
1
2
 时,|
a
-t •
b
|有最小值
3
,t=1时,|
a
-t •
b
|有最大值 2
3

故|
a
-t •
b
|的取值范围[
3
,2
3
].
点评:本题考查两个向量的数量积的定义,两个向量的数量积公式,两个向量坐标形式的运算,向量的模的定义和求法,
函数的单调性的应用,准确运算是解题的关键.
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相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知向量
a
=(1, -3),  
b
=(-2,  m)
,且
a
⊥(
a
-
b
)

(1)求实数m和
a
b
的夹角;
(2)当k
a
+
b
a
-
b
平行时,求实数k的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知向量
a
=(1,3)
b
=(3,x)
,若
a
b
,则实数x的值为(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知向量
a
=(1,
3
)
b
=(-2,2
3
)
,则
a
b
的夹角是(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知向量
a
=(1,3)
,则与向量
a
平行的一个单位向量是
10
10
3
10
10
)或(-
10
10
,-
3
10
10
10
10
3
10
10
)或(-
10
10
,-
3
10
10

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知向量
a
=(1,
3
),
b
=(-1,1)
,则(
a
+
b
)•(
a
-
b
)
=(  )

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