Question

已知函数f（x）=log_a（x+1）（a＞1），若函数y=g（x）的图象上任意一点P关于原点的对称点Q的轨迹恰好是函数f（x）的图象．
（1）写出函数g（x）的解析式；
（2）当x∈[0，1）时，总有f（x）+g（x）≥m成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由已知条件可知函数g（x）的图象上的任意一点P（x，y）关于原点对称的点Q（-x，-y）在函数f（x）图象上，把Q（-x，-y）代入f（x），整理可得g（x）
（2）由（1）可令h（x）=f（x）+g（x）loga

1+x

1-x

(a＞1)，先判断函数h（x）在[0，1）的单调性，
进而求得函数的最小值h（x）_min，使得m≤h（x）_min

解答：解：（1）设点P（x，y）是g（x）的图象上的任意一点，则Q（-x，-y）在函数f（x）的图象上，
即-y=log_a（-x+1），则y= -loga(1-x)=loga

1

1-x

∴g(x)=loga

1

1-x

（2）f（x）+g（x）≥m  即loga(1+x)+loga

1

1-x

≥m，
也就是loga

1+x

1-x

≥m在[0，1）上恒成立．
设h(x)=loga 

1+x

1-x

，x∈[0，1)，
则h(x)=loga(-

x+1

x-1

) =loga(-

x-1+2

x-1

) =loga(-1-

2

x-1

)
由函数的单调性易知，h（x）在[0，1）上递增，若使f（x）+g（x）≥m在[0，1）上恒成立，
只需h（x）_min≥m在[0，1）上成立，即m≤0．
m的取值范围是（-∞，0]

点评：本题（1）主要考查了函数的中心对称问题：若函数y=f（x）与y=g（x）关于点M（a，b）对称，则y=f（x）上的任意一点（x，y）关于M（a，b）对称的点（2a-x，2b-y）在函数y=g（x）的图象上．
（2）主要考查了函数的恒成立问题，往往转化为求最值问题：m≥h（x）恒成立，则m≥h（x）_maxm≤h（x）恒成立，
则m≤h（x）_min