练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    已知实数集R上的函数f(x)=ax3+bx2+cx+d其中a、b、c、d是实数.

    （1）若函数f(x)在区间(-∞,-1)和(3,+∞)上都是增函数，在区间（-1，3）上是减函数，并且f(0)=-7,f′(0)=-18，求函数f(x)的表达式；

    （2）若a、b、c满足b2-3ac＜0,求证：函数f(x)是单调函数.

    解：（1）∵f(0)=-7,∴d=-7,

    f′(x)=3ax2+2bx+c,f′(0)=-18,∴c=-18，

    ∴f′(x)=3ax2+2bx-18.

    ∵函数f(x)在区间(-∞,-1)和(3,+∞)上都是增函数，在区间（-1，3）上是减函数，

    ∴-1和3必是f′(x)=0的两个根.

    ∴解得

    ∴f(x)=2x3-6x2-18x-7.

    （2）f′(x)=3ax2+2bx+c,由条件b2-3ac＜0,可知a≠0,c≠0,

    f′(x)为二次三项式，并且Δ=(2b)2-4(3ac)=4(b2-3ac)＜0,

    ∴当a＞0时，f′(x)＞0恒成立，此时函数f(x)是单调增函数;

    当a＜0时，f′(x)＜0恒成立，此时函数f(x)是单调减函数，

    ∴对任意给定的非零实数a，函数f(x)总是单调函数.

    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知定义在实数集R上的函数f（x）=ax3+bx2+cx+d，其中a，b，c，d是实数．
    （1）若函数f（x）在区间（-∞，-1）和（3，+∞）上都是增函数，在区间（-1，3）上是减函数，并且f（0）=-7，f′（0）=-18，求函数f（x）的表达式；
    （2）若a，b，c满足b2-3ac＜0，求证：函数f（x）是单调函数．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知定义在实数集R上的函数f（x）满足f（1）=2，且f（x）的导数f'（x）在R上恒有f'（x）＜1（x∈R），则不等式f（x）＜x+1的解集为（　　）

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知定义在正实数集R上的函数y=f（x）满足：①对任意a，b∈R都有f（a•b）=f（a）+f（b）②当x＞1时，f（x）＜0   ③f（3）=-1
    （1）求f（1）的值
    （2）证明函数y=f（x）在R上为单调减函数
    （3）若集合A={（p，q）|f（p2+1）-f（5q）-2＞0，p，q∈R+}，集合B={（p，q）|f（
    p
    q
    ）+
    1
    2
    =0，p，q∈R+}，问是否存在p，q，使A∩B≠∅，若存在，求出p，q的值，不存在则说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知实数集R上的函数f（x）=ax3+bx2+cx+d，其中a、b、c、d是实数．
    （1）若函数f（x）在区间（-∞，-1）和（3，+∞）上都是增函数，在区间（-1，3）上是减函数，并且f（0）=-7，f′（0）=-18，求函数f（x）的表达式；
    （2）若a、b、c满足b2＜3ac，求证：函数f（x）是单调函数．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案