Question

16．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD内接于圆O，AC是圆O的一条直径，PA⊥平面ABCD，PA=AC=2，E是PC的中点，∠DAC=∠AOB
（1）求证：BE∥平面PAD；
（2）若二面角P-CD-A的正切值为2，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）根据面面平行的性质定理证明平面OBE∥平面PAD，即可证明BE∥平面PAD；
（2）建立空间坐标系，根据二面角P-CD-A的正切值为2，得到AD=1，然后求出平面的法向量，利用直线和平面所成角的定义即可求直线PB与平面PCD所成角的正弦值

解答 （1）证明：∵，∠DAC=∠AOB
∴AD∥OB，
∵E是PC的中点，O是AC的中点，
∴OE是△PAC的中位线，
∴OE∥PA，
∵PA∩AD=A，
平面OBE∥平面PAD，
∵BE?平面PAD，BE?平面PAD，
∴BE∥平面PAD；

（2）∵AC是圆O的一条直径，∴AC⊥AD，
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，
则CD⊥平面PAD，
则CD⊥AD，
则∠PDA是二面角P-CD-A的平面角，
若二面角P-CD-A的正切值为2，
则tan∠PDA=$\frac{PA}{AD}$=2，
即AD=1，
建立以D为坐标原点，DA，DC，垂直于平面ABCD的直线分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：
则B（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），P（1，0，2），$\overrightarrow{PB}$=（$-\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，2）
D（0，0，0），C（0，$\sqrt{3}$，0），
则$\overrightarrow{DC}$=（0，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{DP}$=（1，0，2），
设平面PCD的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DC}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DP}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}y=0}\\{x+2z=0}\end{array}\right.$，令z=1，则x=-2，y=0，
即$\overrightarrow{m}$=（-2，0，1），
则直线PB与平面PCD所成角的正弦值sin＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{PB}$＞=|cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{PB}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PB}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{PB}|}$|=$\frac{1+2}{\sqrt{5}×\sqrt{5}}=\frac{3}{5}$

点评 本题主要考查面面平行的性质定理以及线面平行的判定以及线面角，二面角的求解，建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解，综合性较强，运算量较大．