Question

6．有8个面围成的几何体，每一个面都是正三角形，并且有四个顶点A，B，C，D在同一个平面内，ABCD是边长为30cm的正方形．
（1）想象几何体的结构，并画出它的三视图和直观图；
（2）求出此积几何体的表面积和体积．

Answer 1

分析 （1）由题意画出几何体的直观图，进一步得到三视图；
（2）求出一个侧面正三角形的面积，乘以8求得几何体的侧面积，然后求出上部分正三棱锥的高，求得四棱锥的体积，乘以2得答案．

解答 解：（1）该几何体的三视图与直观图如图所示，
（2）这个是一个正八面体，假设另两个顶点为E，F，
ABCD是正方形，边长=30cm，
每个三角形面积是$\frac{1}{2}×30×15\sqrt{3}=225\sqrt{3}$，则表面积S=8×225$\sqrt{3}=2000\sqrt{3}$（cm²）；
体积可以分成两部分，两部分是对称的四棱锥，连接AC，BD交于O，连接EO，
EO就是所要求的高，EO=15$\sqrt{2}$（cm），
半部分四棱锥体积是$\frac{1}{3}×30×30×15\sqrt{2}=4500\sqrt{2}$（cm³），总体积=9000$\sqrt{2}$（cm³）．

点评 本题考查柱、锥、台体的体积，考查空间几何体的三视图和直观图，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．