Question

16．已知：如图所示，平面ABCD⊥平面CDE，BC∥AD，∠BCD=90°，CD⊥DE，AD=DC=DE=2BC=2，G，H分别是BE，CE的中点．
（1）证明：AG⊥CE；
（2）求多面体ABG-DCH的体积．

Answer 1

分析 （1）由平面ABCD⊥平面CDE得BC⊥平面CDE，由中位线定理得GH∥BC，故GH⊥平面CDE，于是GH⊥CE，由CD=DE得DH⊥CE，故而CE⊥平面ADHG，从而得出AG⊥CE；
（2）多面体ABG-DCH的体积对于四棱锥E-ABCD的体积减去四棱锥E-ADHG的体积．

解答 （1）证明：∵CD=DE，H是CE的中点，
∴DH⊥CE．
∵平面ABCD⊥平面CDE，平面ABCD∩平面CDE=CD，BC⊥CD，BC?平面ABCD，
∴BC⊥平面CDE，
∵G，H分别是BE，CE的中点，
∴HG∥BC，
∴GH⊥平面CDE，∵CE?平面CDE，
∴GH⊥CE，
又DH?平面ADHG，GH?平面ADHG，DH∩HG=H，
∴CE⊥平面ADHG，∵AG?平面ADHG，
∴AG⊥CE．
（2）解：∵BC⊥平面CDE，BC∥AD，
∴AD⊥平面CDE，∵DE?平面CDE，
∴AD⊥DE，又CD⊥DE，CD?平面ABCD，AD?平面ABCD，AD∩CD=D，
∴DE⊥平面ABCD，
∴V_E-ABCD=$\frac{1}{3}{S}_{梯形ABCD}•DE$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×$（1+2）×2×2=2．
∵GH是△BCE的中位线，
∴GH=$\frac{1}{2}BC$=$\frac{1}{2}$．
∵AD⊥平面CDE，DH?平面CDE，
∴AD⊥DH，∴四边形ADHG是梯形．
∵DC=DE=2，DC⊥DE，H是CE中点，∴CE=2$\sqrt{2}$，DH=HE=$\frac{1}{2}CE$=$\sqrt{2}$．
∴V_E-ADHG=$\frac{1}{3}{S}_{梯形ADHG}•EH$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×（2+\frac{1}{2}）×\sqrt{2}×\sqrt{2}$=$\frac{5}{6}$．
∴多面体ABG-DCH的体积V=V_E-ABCD-V_E-ADHG=$\frac{7}{6}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，属于中档题．