Question

7．双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）与直线y=x交于不同的两点，则双曲线C的离心率的取值范围是（　　）

• A． （1，$\sqrt{2}$）∪（$\sqrt{2}$，+∞）
• B． （$\sqrt{2}$，+∞）
• C． （1，$\sqrt{2}$）
• D． （$\sqrt{2}$，2）

Answer 1

分析 将直线y=x代入双曲线的方程，由题意可得b²-a²＞0，再由a，b，c的关系和离心率公式即可得到所求范围．

解答 解：将直线y=x代入双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，可得：
（b²-a²）x²=a²b²，
由题意可得b²-a²＞0，
即有c²-2a²＞0，
即为e²＞2，即e＞$\sqrt{2}$．
故选：B．

点评 本题考查双曲线的离心率的范围，注意运用联立直线方程和双曲线的方程，考查离心率公式的运用，以及运算能力，属于基础题．