Question

20．已知双曲线C：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与直线y=-1所围成的三角形的面积为4，则双曲线C的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{15}$
• B． $\frac{\sqrt{17}}{2}$
• C． $\sqrt{17}$
• D． $\frac{\sqrt{15}}{2}$

Answer 1

分析 求出双曲线的渐近线方程，令y=-1可得两交点的横坐标，再由三角形的面积公式可得b=4a，由a，b，c的关系和离心率公式计算即可得到所求值．

解答 解：双曲线C：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1的两条渐近线方程为y=±$\frac{a}{b}$x，
令y=-1可得x=±$\frac{b}{a}$，
由渐近线与直线y=-1所围成的三角形的面积为4，
可得$\frac{1}{2}$•1•$\frac{2b}{a}$=4，即有b=4a，
则c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{17}$a，
即有e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{17}$．
故选：C．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用渐近线方程，同时考查三角形的面积的计算，属于基础题．