Question

10．设三角形三边长为3，4，5，P是三角形内的一点，则P到这三角形三边距离乘积的最大值是$\frac{4}{15}$．

Answer 1

分析 由勾股定理的逆定理推知该三角形为直角三角形．如图，将△ABC的面积转化为三个三角形的面积之和的形式，根据题意列出不等式，通过解不等式求得答案即可．

解答 解：如图，∵三角形三边长为3，4，5，
∴3²+4²=5²，
∴△ABC是直角三角形．
设P到长度为3，4，5的三角形三边的距离分别是 x，y，z，三角形的面积为S．
则S=$\frac{1}{2}$（3x+4y+5z）=$\frac{1}{2}$×3×4，即3x+4y+5z=12，
∵12=3x+4y+5z≥3×$\sqrt{3x×4y×5z}$，即2≥$\sqrt{15xyz}$，（当且仅当3x=4y=5z时等号成立），
∴xyz≤$\frac{4}{15}$．
∴P到这三角形三边距离乘积的最大值是$\frac{4}{15}$．

点评 本题考查了点到直线的距离，基本不等式以及三角形的面积．解题的关键是建立数学模型，利用基本不等式的知识求得P到这三角形三边距离乘积的最大值．