Question

1．在公差不为0的等差数列{a_n}中，a₂+a₄=a_p+a_q，记$\frac{1}{p}$+$\frac{9}{q}$的最小值为m，若数列{b_n}满足b₁=$\frac{2}{11}$m，则2b_n+1-b_n•b_n+1=1，b₁+$\frac{{b}_{2}}{{2}^{2}}$+$\frac{{b}_{3}}{{3}^{2}}$+…+$\frac{{b}_{100}}{{100}^{2}}$=$\frac{n}{n+1}$．

Answer 1

分析 由题意可得6=p+q，分类讨论以确定$\frac{1}{p}$+$\frac{9}{q}$的最小值为m=3-$\frac{1}{4}$，从而可得b₁=$\frac{1}{2}$，b₂=$\frac{2}{3}$，利用数学归纳法可证明b_n=$\frac{n}{n+1}$，从而化简$\frac{{b}_{n}}{{n}^{2}}$=$\frac{n}{（n+1）{n}^{2}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，从而利用裂项求和法求得．

解答 解：∵在公差不为0的等差数列{a_n}中，a₂+a₄=a_p+a_q，
∴2+4=p+q，
当p=1，q=5时，$\frac{1}{p}$+$\frac{9}{q}$=3-$\frac{1}{5}$，
当p=2，q=4时，$\frac{1}{p}$+$\frac{9}{q}$=3-$\frac{1}{4}$，
当p=3，q=3时，$\frac{1}{p}$+$\frac{9}{q}$=3+$\frac{1}{3}$，
当p=4，q=2时，$\frac{1}{p}$+$\frac{9}{q}$=$\frac{1}{4}$+$\frac{9}{2}$，
当p=5，q=1时，$\frac{1}{p}$+$\frac{9}{q}$=$\frac{1}{5}$+9，
故$\frac{1}{p}$+$\frac{9}{q}$的最小值为m=3-$\frac{1}{4}$，
故b₁=$\frac{2}{11}$m=$\frac{2}{11}$•$\frac{11}{4}$=$\frac{1}{2}$，
∵2b_n+1-b_n•b_n+1=1，
∴b_n+1=$\frac{1}{2-{b}_{n}}$，
∴b₂=$\frac{1}{2-\frac{1}{2}}$=$\frac{2}{3}$，
由数学归纳法可证明b_n=$\frac{n}{n+1}$，
$\frac{{b}_{n}}{{n}^{2}}$=$\frac{n}{（n+1）{n}^{2}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
故b₁+$\frac{{b}_{2}}{{2}^{2}}$+$\frac{{b}_{3}}{{3}^{2}}$+…+$\frac{{b}_{100}}{{100}^{2}}$
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查了等差数列的性质的应用及分类讨论的思想应用，同时考查了裂项求和法的应用．