Question

16．已知点（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）在椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上，椭圆离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过椭圆C右焦点F的直线l与椭圆交于两点A、B，在x轴上是否存在点M，使得$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$为定值？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由点（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）在椭圆上，椭圆离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，列出方程组求出a，b，能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）假设存在点M（x₀，0），使得$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$为定值，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设直线l的方程为x=my+1，联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\\{x=my+1}\end{array}\right.$，得（m²+2）y²+2my-1=0，由此利用韦达定理、向量的数量积、椭圆性质，结合已知条件能求出存在点M（$\frac{5}{4}$，0），使得$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$为定值-$\frac{7}{16}$恒成立．

解答 解：（Ⅰ）∵点（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）在椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上，椭圆离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{2{b}^{2}}=1}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=$\sqrt{2}，b=1$，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．
（Ⅱ）假设存在点M（x₀，0），使得$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$为定值，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设直线l的方程为x=my+1，
联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\\{x=my+1}\end{array}\right.$，得（m²+2）y²+2my-1=0，
${y}_{1}+{y}_{2}=-\frac{2m}{{m}^{2}+2}$，${y}_{1}{y}_{2}=-\frac{1}{{m}^{2}+2}$，
$\overrightarrow{MA}$=（x₁-x₀，y₁）=（my₁+1-x₁，y₁），$\overrightarrow{MB}$=（x₂-x₀，y₂）=（my₂+1-x₀，y₂），
∴$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=（my₁+1-x₀）（my₂+1-x₀）+y₁y₂
=（m²+1）y₁y₂+m（1-x₀）（y₁+y₂）+（1-x₀）²
=$\frac{-（{m}^{2}+1）}{{m}^{2}+2}$+$\frac{-2{m}^{2}（1-{x}_{0}）}{{m}^{2}+2}$+（1-x₀）²
=$\frac{{m}^{2}（{{x}_{0}}^{2}-2）+2（1-{x}_{0}）^{2}-1}{{m}^{2}+2}$，
要使上式为定值，即与m无关，应有$\frac{{{x}_{0}}^{2}-2}{1}$=$\frac{2（1-{x}_{0}）^{2}-1}{2}$，
解得${x}_{0}=\frac{5}{4}$．
∴存在点M（$\frac{5}{4}$，0），使得$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$为定值-$\frac{7}{16}$恒成立．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的定点是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、向量的数量积、椭圆性质的合理运用．