Question

11．为了保护环境，实现城市绿化，某小区要在空地长方形ABCD上规划出一块长方形地面建造草坪CGPH，草坪一边落在CD上，一个顶点P在水池△AEF的边EF上，（如图，其中AB=200 m，BC=160m，AE=60m，AF=40m），设CG=xm，草坪的面积为f（x）．
（1）求函数y=f（x）的解析式，并写出它的定义域；
（2）求草坪面积的最大值，井求出此时CG的长度．（精确到整数）

Answer 1

分析 根据CG=x，矩形CGPH面积为f（x），作EN⊥PH于点N，因为三角形AEF∽三角形PEN，得到对应边成比例得到EN，用160-EN得到HC，然后利用矩形的面积求法，长乘以宽得到y与x的函数关系式，最后利用基本不等式求出最大值即可．

解答 解：（1）如图示：

CG=x，矩形CGPH面积为f（x），
作EN⊥PH于点N，则 $\frac{EN}{40}$=$\frac{x-140}{60}$⇒EN=$\frac{2x-280}{3}$，
∴HC=160-$\frac{2x-280}{3}$=$\frac{760-2x}{3}$，
∴f（x）=x•$\frac{760-2x}{3}$=$\frac{1}{6}$•2x（760-2x），（140＜x＜200）；
（2）由（1）得：f（x）=x•$\frac{760-2x}{3}$=$\frac{1}{6}$•2x（760-2x）≤$\frac{1}{2}$（$\frac{760}{2}$）²=$\frac{72200}{3}$，
当2x=760-2x⇒x=190（m）即CG长为190m时，最大面积为 $\frac{72200}{3}$（m²）．

点评 考查学生会根据实际问题选择合适的函数类型来解决实际问题，理解函数的最值及其几何意义．