Question

20．已知f（x）=2cos（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{4}$），g（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{3}$）（ω＞0）
（1）求f（x）在[-$\frac{π}{2}$，π]上的值域；
（2）若g（$\frac{π}{3}$）=g（$\frac{5}{6}$π），且g（x）在（$\frac{π}{3}$，$\frac{5}{6}$π）内有最小值，无最大值，求ω；
（3）ω取（2）中的值时，若对任意x₁∈[0，α]，都存在x₂∈[-$\frac{π}{2}$，π]，使得f（x₂）=g（x₁），求α的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由x∈[-$\frac{π}{2}$，π]和不等式的性质可得$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{4}$∈[0，$\frac{3π}{4}$]，再由余弦函数可得值域；
（2）由题意结合函数图象可得ω范围，再由对称性可得$\frac{7π}{12}$为函数过最低点的一条对称轴，可得ω方程，综合可得ω值；
（3）由（1）可得f（x₂）∈[-$\sqrt{2}$，2]，题目转化为当x₁∈[0，α]时，g（x₁）=2sin（2x₁+$\frac{π}{3}$）的值域是[-$\sqrt{2}$，2]的子集，由正弦函数的图象可得$\frac{π}{3}$＜2α+$\frac{π}{3}$≤$\frac{5π}{4}$，解不等式可得．

解答 解：（1）当x∈[-$\frac{π}{2}$，π]时，$\frac{1}{2}$x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，
∴$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{4}$∈[0，$\frac{3π}{4}$]，∴cos（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
∴2cos（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\sqrt{2}$，2]，
∴f（x）在[-$\frac{π}{2}$，π]上的值域为：[-$\sqrt{2}$，2]；
（2）∵g（$\frac{π}{3}$）=g（$\frac{5}{6}$π），且g（x）在（$\frac{π}{3}$，$\frac{5}{6}$π）内有最小值，无最大值，
∴$\frac{5}{6}$π-$\frac{π}{3}$＜$\frac{2π}{ω}$，解得ω＜4，又由对称性可得$\frac{1}{2}$（$\frac{π}{3}$+$\frac{5}{6}$π）=$\frac{7π}{12}$为函数过最低点的一条对称轴，
∴ω•$\frac{7π}{12}$+$\frac{π}{3}$=2kπ-$\frac{π}{2}$，解得ω=$\frac{24k}{7}$-$\frac{10}{7}$，k∈Z，
结合0＜ω＜4可得当且仅当k=1时，ω=2符合题意；
（3）由（1）可得当x₂∈[-$\frac{π}{2}$，π]，f（x₂）∈[-$\sqrt{2}$，2]，
由（2）知g（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∵对任意x₁∈[0，α]，都存在x₂∈[-$\frac{π}{2}$，π]，使得f（x₂）=g（x₁），
∴当x₁∈[0，α]时，g（x₁）=2sin（2x₁+$\frac{π}{3}$）的值域是[-$\sqrt{2}$，2]的子集，
∴sin（2x₁+$\frac{π}{3}$）的值域是[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]的子集，
∵x₁∈[0，α]，∴2x₁+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，2α+$\frac{π}{3}$]，
结合正弦函数的图象可得$\frac{π}{3}$＜2α+$\frac{π}{3}$≤$\frac{5π}{4}$，
解得0＜α≤$\frac{11π}{12}$，故α的取值范围为（0，$\frac{11π}{12}$]

点评 本题考查三角函数的图象和性质，涉及三角函数对称性和集合间的包含关系以及数形结合的思想，属中档题．