Question

9．如图SA⊥面ABC，AB=3，BC=4，AC=5，AE⊥SB，求证：（1）BC⊥面SAB；（2）AE⊥面SBC．

Answer 1

分析 （1）由SA⊥底面ABC，即可证明BC⊥SA，由已知及勾股定理即可证明AB⊥BC，从而可证BC⊥面SAB；
（2）由（1）可证BC⊥AE，又AE⊥SB，从而可证AE⊥面SBC．

解答 证明：（1）∵SA⊥底面ABC，BC?底面ABC，
∴BC⊥SA，
又∵AB=3，BC=4，AC=5，可得：AB²+BC²=AC²，
∴AB⊥BC，
∵AB∩SA=A，
∴BC⊥面SAB；
（2）∵BC⊥面SAB，AE?面SAB，
∴BC⊥AE，
又∵AE⊥SB，SB∩BC=B，
∴AE⊥面SBC．

点评 本题主要考查了线面垂直的定义与判定定理，一般情况下，定义用来证明线线垂直，判定定理用来证明线面垂直，应注意体会线线垂直与线面垂直之间的灵活转化，属于中档题．