Question

4．已知圆C：（x-5）²+（y-7）²=4，一束光线从点A（-1，1）经x轴反射到圆周上，求光线的最短路程，并求此时的反射光线和入射光线的方程．

Answer 1

分析 由条件利用反射定律，直线和圆的位置关系，求得光线的最短路程，并利用两点式求此时的反射光线和入射光线的方程．

解答 解：点A关于x轴的对称点为A′（-1，-1），光线的最短路程为A′M-2=$\sqrt{{（5+1）}^{2}{+（7+1）}^{2}}$-2=8，
此时，反射光线的方程即直线A′M的方程：$\frac{y+1}{7+1}$=$\frac{x+1}{5+1}$，即 4x-3y+1=0．
故反射光线和x轴的交点为N（-$\frac{1}{4}$，0），入射光线方程即直线AN的方程：$\frac{y-0}{1-0}$=$\frac{x+\frac{1}{4}}{-1+\frac{1}{4}}$，
即4x+3y+1=0．

点评 本题主要考查反射定律，直线和圆的位置关系的应用，用两点式求直线的方程，属于中档题．