Question

16．若数列{a_n}满足a₂-a₁＞a₃-a₂＞a₄-a₃＞…＞a_n+1-a_n＞…，则称数列{a_n}为“差递减”数列，若数列{a_n}是“差递减”数列，且其通项a_n与其前n项和S_n（n∈N^*）满足2S_n=3a_n+2λ-1（n∈N^*），则实数λ的取值范围是$λ＞\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 2S_n=3a_n+2λ-1（n∈N^*），n=1时，2a₁=3a₁+2λ-1，解得a₁=1-2λ．n≥2时，可得：a_n=3a_n-1．利用a₂-a₁＞a₃-a₂＞a₄-a₃＞…，即可得出．

解答 解：∵2S_n=3a_n+2λ-1（n∈N^*），
∴n=1时，2a₁=3a₁+2λ-1，解得a₁=1-2λ．
n≥2时，2a_n=3a_n-3a_n-1，化为a_n=3a_n-1．
同理可得：a₂=3（1-2λ），a₃=9（1-2λ），a₄=27（1-2λ）．
∴a₂-a₁=2（1-2λ），a₃-a₂=6（1-2λ），a₄-a₃=18（1-2λ），
∵a₂-a₁＞a₃-a₂＞a₄-a₃＞…，
∴2（1-2λ）＞6（1-2λ）＞18（1-2λ），
解得：$λ＞\frac{1}{2}$．
则实数λ的取值范围是$λ＞\frac{1}{2}$．
故答案为：$λ＞\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了递推关系、不等式的解法、新定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．