Question

7．已知F₁、F₂分别为双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点．过F₂作双曲线的渐近线的垂线，垂足为P，则|PF₁|²-|PF₂|²=（　　）

• A． 4a²
• B． 4b²
• C． 3a²+b²
• D． a²+3b²

Answer 1

分析 求出双曲线的一条渐近线方程，运用点到直线的距离公式，求得|PF₂|=b，运用余弦函数的定义和余弦定理，计算即可得到所求值．

解答 解：设双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的一条渐近线方程为y=$\frac{b}{a}$x，
F₂（c，0）到渐近线的距离为d=|PF₂|=$\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=b，
cos∠POF₂=$\frac{|PO|}{|O{F}_{2}|}$=$\frac{\sqrt{{c}^{2}-{b}^{2}}}{c}$=$\frac{a}{c}$，
在△POF₁中，|PF₁|²=|PO|²+|OF₁|²-2|PO|•|OF₁|•cos∠POF₁
=a²+c²-2ac•（-$\frac{a}{c}$）=3a²+c²，
则|PF₁|²-|PF₂|²=3a²+c²-b²=4a²，
故选：A．

点评 本题考查距离的平方差，注意运用双曲线的渐近线方程和点到直线的距离公式，同时考查余弦定理的运用，化简整理的运算能力，属于中档题．