Question

2．已知数列{a_n}是公差为整数的等差数列，前n项和为S_n，且a₁+a₅+2=0，2S₁，3S₂，8S₃成等比数列，则数列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前10项和为-$\frac{10}{51}$．

Answer 1

分析 根据a₁+a₅+2=0，求出a₃=-1，2S₁，3S₂，8S₃成等比数列，求得d=-2，$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-5}-\frac{1}{2n-3}）$，再求和．

解答 解：数列{a_n}是公差为整数的等差数列，首项为a₁，公差为d，
a₁+a₅+2=0，a₁+a₁+4d+2=0，
∴a₃=-1，
2S₁，3S₂，8S₃成等比数列，
∴9${S}_{2}^{2}$=2S₁×8S₃，
∴9$（{a}_{1}+{a}_{2}）^{2}$=2a₁×8（a₁+a₂+a₃），
9$（{2a}_{3}-3d）^{2}$=2（a₃-2d）×8（3a₃-3d），
将a₃=-1代入，整理得：5d²+12d+4=0，
解得：d=-2或d=$-\frac{2}{5}$（舍去），
∴a_n=-2n+5，
（2）a_n•a_n+1=（-2n+5）（-2n+3），
$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-5）（2n-3）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-5}-\frac{1}{2n-3}）$；
∴T₁₀=b₁+b₂+b₃+…+b₁₀，
=$\frac{1}{2}$×{[$-\frac{1}{3}$-（-1）]+（-1-1）+（1-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+…+（$\frac{1}{15}$-$\frac{1}{17}$）}
=-$\frac{10}{51}$．
故答案为：-$\frac{10}{51}$．

点评 本题考查求数列的通项及前n项和，过程比较繁琐，属于中档题．