Question

13．已知点A是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上一点，F₁，F₂为椭圆的左、右焦点，点P为△AF₁F₂的内心，若S${\;}_{△A{F}_{1}{F}_{2}}$=4S${\;}_{△{PF}_{1}{F}_{2}}$，则椭圆的离心率为$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 设△AF₁F₂的内切圆半径为r，则S${\;}_{△A{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$r×（|AF₁|+|AF₂|+|F₁F₂|）=（a+c）r，S${\;}_{△{PF}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}r|{F}_{1}{F}_{2}|$=cr，由此能求出椭圆的离心率．

解答 解：∵A是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上一点，F₁，F₂为椭圆的左、右焦点，
点P为△AF₁F₂的内心，S${\;}_{△A{F}_{1}{F}_{2}}$=4S${\;}_{△{PF}_{1}{F}_{2}}$，
∴设△AF₁F₂的内切圆半径为r，
则S${\;}_{△A{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$r×（|AF₁|+|AF₂|+|F₁F₂|）=（a+c）r，S${\;}_{△{PF}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}r|{F}_{1}{F}_{2}|$=cr，
∴a+c=4c，∴a=3c，
∴椭圆的离心率为e=$\frac{c}{a}=\frac{c}{3c}=\frac{1}{3}$．
故答案为：$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．