Question

3．将函数$y=sinx+\sqrt{3}cosx（x∈R）$的图象向左平移n（n＞0）个长度单位后，所得到的图象关于原点对称，则n的最小值是$\frac{2π}{3}$．

Answer 1

分析 利用辅助角公式将函数进行化简，然后根据图象平移关系以及函数奇偶性的性质建立方程关系进行求解即可．

解答 解：y=2（$\frac{1}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx）=2sin（x+$\frac{π}{3}$），
若将函数$y=sinx+\sqrt{3}cosx（x∈R）$的图象向左平移n（n＞0）个长度单位后，
得到y=2sin（x+n+$\frac{π}{3}$）若图象关于原点对称，
则n+$\frac{π}{3}$=kπ，
即n=kπ-$\frac{π}{3}$，k∈Z
当k=1时，n取得最小值为π-$\frac{π}{3}$=$\frac{2π}{3}$，
故答案为：$\frac{2π}{3}$．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，根据三角函数的图象平移关系求出函数的解析式是解决本题的关键．．