Question

12．若P是椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1上位于x轴上方的一点，F是椭圆的左焦点，O为原点，Q为PF的中点，且|OQ|=4，则直线PF的斜率为$\sqrt{63}$．

Answer 1

分析 设椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的右焦点为E，由已知推导出PE=8，PF=2，EF=8，利用余弦定理求出cos∠PFE，由此能求出直线PF的斜率．

解答 解：如图，设椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的右焦点为E
∵P是椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1上位于x轴上方的一点，F是椭圆的左焦点，O为原点，Q为PF的中点，且|OQ|=4，
∴OQ是△PEF的中位线，∴PE=2OQ=8，
∴PF=2a-8=2×5=8=2，EF=2c=8，
∴cos∠PFE=$\frac{P{F}^{2}+E{F}^{2}-P{E}^{2}}{2PF•EF}$=$\frac{4+64-64}{2×2×8}$=$\frac{1}{8}$，
∴sin∠PFE=$\sqrt{1-\frac{1}{64}}$=$\frac{\sqrt{63}}{8}$，∴tan∠PFE=$\sqrt{63}$．
∴直线PF的斜率为$\sqrt{63}$．
故答案为：$\sqrt{63}$．

点评 本题考查直线的斜率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．