Question

7．已知函数f（x）=|x+1|-2|x-a|，a∈R，若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．

Answer 1

分析 化为分段函数可得三个交点，由面积公式可得a的不等式，解不等式可得．

解答 解：若a＞-1，则f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-1-2a，x＜-1}\\{3x+1-2a，-1≤x≤a}\\{-x+1+2a，x＞a}\end{array}\right.$，
∴函数f（x）的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A（$\frac{2a-1}{3}$，0），B（2a+1，0），C（a，a+1），
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$[2a+1-（$\frac{2a-1}{3}$）]（a+1）=$\frac{2}{3}$（a+1）²，故$\frac{2}{3}$（a+1）²＞6，解得a＞2或a＜-4（舍），
若a=-1，则f（x）=|x+1|-2|x+1|=-|x+1|，此时不满足条件．
若a＜-1，则f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-1-2a，}&{x＜a}\\{-3x+2a-1，}&{a≤x≤-1}\\{-x+1+2a，}&{x＞-1}\end{array}\right.$，
函数f（x）的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A（$\frac{2a-1}{3}$，0），B（2a+1，0），C（a，-a-1），

∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$[$\frac{2a-1}{3}$-（2a+1）]（-a-1）=$\frac{2}{3}$（a+1）²，故$\frac{2}{3}$（a+1）²＞6，解得a＞2（舍）或x＜-4，
综上a的取值范围为（-∞，-4）∪（2，+∞）．

点评 本题考查绝对值函数，涉及三角形的公式，化为分段函数是解决问题的关键，注意要对a进行分类讨论．