Question

17．已知函数f（x）为偶函数，且当x≤0时，f（x）=$\frac{10+3x+{2}^{-x}}{7}$+|$\frac{10+3x-{2}^{-x}}{7}$|+m，若函数f（x）有4个零点，则实数m的取值范围为（　　）

• A． （-$\frac{20}{7}$，-$\frac{8}{7}$）
• B． （-∞，-3）∪（-$\frac{8}{7}$，+∞）
• C． （-2，-$\frac{10}{7}$）
• D． （-∞，-2）∪（-$\frac{10}{7}$，+∞）

Answer 1

分析 根据函数零点与方程之间的关系，转化为图象的交点问题，构造函数g（x）=$\frac{10+3x+{2}^{-x}}{7}$+|$\frac{10+3x-{2}^{-x}}{7}$|，作出函数g（x）的图象，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：由f（x）=$\frac{10+3x+{2}^{-x}}{7}$+|$\frac{10+3x-{2}^{-x}}{7}$|+m=0得$\frac{10+3x+{2}^{-x}}{7}$+|$\frac{10+3x-{2}^{-x}}{7}$|=-m，
设g（x）=$\frac{10+3x+{2}^{-x}}{7}$+|$\frac{10+3x-{2}^{-x}}{7}$|
∵f（x）为偶函数，∴g（x）为偶函数，
y=$\frac{10+3x-{2}^{-x}}{7}$在x≤0时为增函数，且当x=-2时，y=$\frac{10-6-4}{7}=0$，
则当x＜-2时，$\frac{10+3x-{2}^{-x}}{7}$＜0，此时g（x）=$\frac{10+3x+{2}^{-x}}{7}$+|$\frac{10+3x-{2}^{-x}}{7}$|=$\frac{10+3x+{2}^{-x}}{7}$-$\frac{10+3x-{2}^{-x}}{7}$=$\frac{2}{7}$（$\frac{1}{2}$）^x，
当-2≤x≤0时，$\frac{10+3x-{2}^{-x}}{7}$≥0，此时g（x）=$\frac{10+3x+{2}^{-x}}{7}$+|$\frac{10+3x-{2}^{-x}}{7}$|=$\frac{10+3x+{2}^{-x}}{7}$+$\frac{10+3x-{2}^{-x}}{7}$=$\frac{6}{7}$x+$\frac{20}{7}$，
作出函数g（x）图象如图：
则当x=-2时，g（-2）=$\frac{6}{7}$×（-2）+$\frac{20}{7}$=$\frac{8}{7}$，
当x=0时，g（0）=$\frac{6}{7}$×0+$\frac{20}{7}$=$\frac{20}{7}$，
要使g（x）=-m有4个零点，
则$\frac{8}{7}$＜-m＜$\frac{20}{7}$，即-$\frac{20}{7}$＜m＜-$\frac{8}{7}$，
故选：A．

点评 本题主要考查函数与方程的应用，利用条件转化为两个函数的交点个数问题，结合数形结合是解决本题的关键．综合性较强，难度大．