Question

6．数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=$\frac{n}{n+1}$•a_n，求a_n．

Answer 1

分析 通过对a_n+1=$\frac{n}{n+1}$•a_n变形可知$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{n+1}$，当n≥2时，利用a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$•$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•…•$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•a₁计算即得结论．

解答 解：∵a_n+1=$\frac{n}{n+1}$•a_n，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{n+1}$，
又∵a₁=1，
∴当n≥2时，a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$•$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•…•$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•a₁
=$\frac{n-1}{n}$•$\frac{n-2}{n-1}$•…•$\frac{1}{2}$•1
=$\frac{1}{n}$，
∵当n=1时上式成立，
∴a_n=$\frac{1}{n}$．

点评 本题考查数列的通项，考查累乘法，注意解题方法的积累，属于中档题．