Question

1．定义在R上的奇函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，且f（0.5）=3，求f（7.5）的值．

Answer 1

分析 由题意可知f（1+x）=f（1-x）=-f（x-1），故而f（x-1）=-f（x-3），于是f（x+1）=f（x-3），即f（x）的周期为4，于是f（7.5）=f（-0.5）=-f（0.5）．

解答 解：∵f（x）的图形关于直线x=1对称，
∴f（1+x）=f（1-x），
又f（x）是奇函数，
∴f（1-x）=-f（x-1），
∴f（x+1）=-f（x-1），
∴f（x-1）=-f（x-3）．
∴f（x+1）=f（x-3）．
∴f（x）是以4为周期的函数，
∴f（7.5）=f（-0.5）=-f（0.5）=-3．

点评 本题考查了函数的奇偶性与周期性的性质，求出f（x）的周期是解题的关键．