Question

18．已知数列{a_n}，{b_n}满足a₁=2，对?∈N^*，a_n≠0且a_n≠1，且b_n=（a_n+1）（a_n-2），若过点A（1，-2），B（a_n，b_n）的直线与x轴的交点的横坐标为$\frac{2}{{a}_{n+1}}$，则$\frac{{a}_{2}^{2}}{{b}_{2}}$+$\frac{{a}_{3}^{2}}{{b}_{3}}$+$\frac{{a}_{4}^{2}}{{b}_{4}}$+…+$\frac{{a}_{8}^{2}}{{b}_{8}}$=-$\frac{539}{540}$．

Answer 1

分析 先根据两点式方程求出直线方程，再求出与x轴的交点坐标，得到$\frac{2}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2{a}_{n}-2}{{b}_{n}+2}$+1，和b_n=（a_n+1）（a_n-2），求出数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以$\frac{1}{2}$为首项，以$\frac{1}{2}$为公差的等差数列，
求出a_n和b_n的通项公式，再求出$\frac{{a}_{n}^{2}}{{b}_{n}}$=-$\frac{2}{3}$（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+2}$），代值计算即可．

解答 解：过点A（1，-2），B（a_n，b_n）的直线方程为$\frac{y+2}{b{\;}_{n}+2}$=$\frac{x-1}{{a}_{n}-1}$，当y=0时，x=$\frac{2{a}_{n}-2}{{b}_{n}+2}$+1，
∴$\frac{2}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2{a}_{n}-2}{{b}_{n}+2}$+1，
∵b_n=（a_n+1）（a_n-2）=a_n²-a_n-2，
∴$\frac{2}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2（{a}_{n}-1）}{{a}_{n}（{a}_{n}-1）}$+1=$\frac{2}{{a}_{n}}$+1，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$，
∵a₁=2，
∴$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以$\frac{1}{2}$为首项，以$\frac{1}{2}$为公差的等差数列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$（n-1）=$\frac{1}{2}$n，
∴a_n=$\frac{2}{n}$，
∴b_n=$\frac{4}{{n}^{2}}$-$\frac{2}{n}$-2，
∴$\frac{{a}_{n}^{2}}{{b}_{n}}$=$\frac{2}{2-n-{n}^{2}}$=-$\frac{2}{（n+2）（n-1）}$=-$\frac{2}{3}$（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+2}$），
∴$\frac{{a}_{2}^{2}}{{b}_{2}}$+$\frac{{a}_{3}^{2}}{{b}_{3}}$+$\frac{{a}_{4}^{2}}{{b}_{4}}$+…+$\frac{{a}_{8}^{2}}{{b}_{8}}$=-$\frac{2}{3}$（$\frac{1}{1}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{7}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{9}$+$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{10}$）=-$\frac{539}{540}$，
故答案为：-$\frac{539}{540}$．

点评 本题考查了直线方程，通项公式的求法，裂项求和，培养了学生的运算能力，转化能力，属于中档题．