Question

8．若函数f（x）=sin（ωx+φ）+$\sqrt{3}$cos（ωx+φ）（ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$）为偶函数，且在区间（$\frac{3π}{4}$，π）上单调递增，则ω的最小值为（　　）

• A． 2
• B． $\frac{4}{3}$
• C． 1
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 由条件利用两角和差的正弦公式、诱导公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的单调性，求得ω的最小值．

解答 解：函数f（x）=sin（ωx+φ）+$\sqrt{3}$cos（ωx+φ）=2sin[（ωx+φ）+$\frac{π}{3}$]（ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$）为偶函数，
∴φ+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，即 φ=kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，∴φ=$\frac{π}{6}$，故y=2sin（ωx+$\frac{π}{2}$）=2cosωx．
根据y=2cosωx在区间（$\frac{3π}{4}$，π）上单调递增，∴ω•$\frac{3π}{4}$≥π，且ω•π≤2π．
求得$\frac{4}{3}$≤ω≤π，则ω的最小值为$\frac{4}{3}$，
故选：B．

点评 本题主要考查两角和差的正弦公式、诱导公式、余弦函数的单调性，属于中档题．