Question

14．如图，以BC为斜边的等腰直角三角形ABC与等边三角形ABD所在平面互相垂直，且点E满足$\overrightarrow{DE}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$．
（1）求证：平面EBC⊥平面ABC；
（2）求平面EBC与平面ABD所成的角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取BC的中点F，AB的中点H，根据面面垂直的判定定理和性质定理即可证明平面EBC⊥平面ABC；
（2）建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求平面EBC与平面ABD所成的角的正弦值．

解答 证明：（1取BC的中点F，AB的中点H，
∵ABD是等边三角形，
∴DH⊥AB，
∵以BC为斜边的等腰直角三角形ABC与等边三角形ABD所在平面互相垂直，
∴DH⊥平面ABC，
∵点E满足$\overrightarrow{DE}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$．
∴DE∥AC，DE═$\frac{1}{2}$AC，
∵HF∥AC，HF=$\frac{1}{2}$AC，
∴DE∥FH，DE=FH，
则四边形EFHD是矩形，
则EF∥DH，
则EF⊥平面ABC，
∵EF?平面BCE，
∴平面EBC⊥平面ABC；
（2）建立以H为坐标原点，HF，HB，HD分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：
则平面ABD的法向量为$\overrightarrow{DF}$，
$\overrightarrow{AF}$是平面BCE的法向量，
则∠AFH=45°，
则平面EBC与平面ABD所成的角为45°，
则sin45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
平面EBC与平面ABD所成的角的正弦值是$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题主要考查面面垂直的判定以及二面角的求解，利用相应的判定定理以及建立坐标系，利用向量法是解决本题的关键．