Question

5．在平面直角坐标系xOy中，圆C₁：（x-1）²+y²=2，圆C₂：（x-m）²+（y+m）²=m²．圆C₂上存在点P满足：过点P向圆C₁作两条切线PA，PB，切点为A，B，△ABP的面积为1，则正数m的取值范围是[1，$3+2\sqrt{3}$]．

Answer 1

分析 设圆C₂上点P，利用直角三角形中的射影定理把AG，PG用PC₁表示，从而用PC₁表示三角形PAB的面积，由面积为1求出PC₁的值，再由PC₁的范围列关于m的不等式组求解．

解答 解：如图，由圆C₁：（x-1）²+y²=2，圆C₂：（x-m）²+（y+m）²=m²，
得C₁（1，0），C₂（m，-m），
设圆C₂上点P，则PA²=PG•PC₁，
而$P{A}^{2}=P{{C}_{1}}^{2}-2$，
∴$P{{C}_{1}}^{2}-2=PG•P{C}_{1}$，则$PG=\frac{P{{C}_{1}}^{2}-2}{P{C}_{1}}$，
$AG=\sqrt{P{A}^{2}-P{G}^{2}}=\sqrt{P{{C}_{1}}^{2}-2-（\frac{P{{C}_{1}}^{2}-2}{P{C}_{1}}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2P{{C}_{1}}^{2}-4}}{P{C}_{1}}$，
∴${S}_{△PAB}=2•\frac{1}{2}•\frac{P{{C}_{1}}^{2}-2}{P{C}_{1}}•\frac{\sqrt{2P{{C}_{1}}^{2}-4}}{P{C}_{1}}$=$\frac{（P{{C}_{1}}^{2}-2）\sqrt{2P{{C}_{1}}^{2}-4}}{P{{C}_{1}}^{2}}$=1．
令$\sqrt{2P{{C}_{1}}^{2}-4}=t（t≥0）$，
得t³-t²-4=0，解得：t=2．
即$\sqrt{2P{{C}_{1}}^{2}-4}=2$，∴PC₁=2．
圆C₂：（x-m）²+（y+m）²=m²上点P到C₁距离的最小值为|C₁C₂|-m=$\sqrt{（m-1）^{2}+（-m）^{2}}$-m，
最大值为|C₁C₂|+m=$\sqrt{（m-1）^{2}+（-m）^{2}}$+m，
由$\sqrt{（m-1）^{2}+（-m）^{2}}$-m≤2≤$\sqrt{（m-1）^{2}+（-m）^{2}}$+m，
得$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{（m-1）^{2}+{m}^{2}}-m≤2①}\\{\sqrt{（m-1）^{2}+{m}^{2}}+m≥2②}\end{array}\right.$，
解①得：$3-2\sqrt{3}≤m≤3+2\sqrt{3}$，
解②得：m≤-3或m≥1．
取交集得：1$≤m≤3+2\sqrt{3}$．
∴正数m得取值范围是[1，$3+2\sqrt{3}$]．
故答案为：[1，$3+2\sqrt{3}$]．

点评 本题考查圆的切线方程，考查了圆的切线与圆位置关系的应用，考查数学转化思想方法，考查计算能力，难度较大．