Question

20．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{|x+1|}，x≤0}\\{|lo{g}_{2}x|，x＞0}\end{array}\right.$若实数x₁、x₂、x₃、x₄，满足f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）=f（x₄），且x₁＜x₂＜x₃＜x₄，则x₁+x₂+x₃+x₄的取值范围是（　　）

• A． （0，+∞）
• B． （$\frac{1}{2}$，$\frac{9}{4}$]
• C． （1，$\frac{9}{2}$]
• D． （$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{4}$]

Answer 1

分析 作出函数f（x）对应的图象，结合对数函数的性质以及函数的对称性，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：作出函数f（x）的图象如图
当x≤0时，二次函数的对称轴为x=-1，
若f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）=f（x₄），且x₁＜x₂＜x₃＜x₄，
当x=-1时，f（-1）=1，当x=0时，f（0）=2，
由|log₂x|=2，得x=4或x=$\frac{1}{4}$，
由|log₂x|=1，得x=2或x=$\frac{1}{2}$，
即$\frac{1}{4}$≤x₃＜$\frac{1}{2}$，2＜x₄＜4，x₁，x₂关于x=-1对称，则x₁+x₂=-2，
则由f（x₃）=f（x₄）得|log₂x₃|=|log₂x₄|，
即-log₂x₃=log₂x₄，
则log₂x₂+log₂x₄=0，
即log₂x₃x₄=0，
则x₃x₄=1，即x₄=$\frac{1}{{x}_{3}}$，
则x₁+x₂+x₃+x₄=-2+x₃+$\frac{1}{{x}_{3}}$，
∵y=-1+x₃+$\frac{1}{{x}_{3}}$在$\frac{1}{4}$≤x₃＜$\frac{1}{2}$上是减函数，
∴当x₃=$\frac{1}{2}$，y=-2+$\frac{1}{2}$+2=$\frac{1}{2}$，
当x₃=$\frac{1}{4}$，y=-2+$\frac{1}{4}$+4=$\frac{9}{4}$，
即$\frac{1}{2}$＜x₁+x₂+x₃+x₄≤$\frac{9}{4}$，
即x₁+x₂+x₃+x₄的取值范围是（$\frac{1}{2}$，$\frac{9}{4}$]，
故选：B．

点评 本题主要考查函数与方程的应用，利用数形结合以及对勾函数和一元二次函数的性质是解决本题的关键．