Question

10．已知等差数列{a_n}的前n项和S_n满足S₃=6，S₅=15．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=$\frac{a_n}{{{2^{a_n}}}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用等差数列的前n项和公式即可得出．
（II）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（I）设等差数列{a_n}的公差为d，∵S₃=6，S₅=15．
∴$3{a}_{1}+\frac{3×2}{2}d$=6，$5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}d$=15，
解得a₁=d=1．
∴a_n=1+（n-1）=n．
（II）${b_n}=\frac{a_n}{{{2^{a_n}}}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{2}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n}}$+$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=1-$\frac{2+n}{{2}^{n+1}}$．
∴T_n=2-$\frac{2+n}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．