Question

4．己知椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）和圆C₂：x²+y²=r²（r＞0），已知圆C₂的直径是椭圆C₁焦距长的$\sqrt{2}$倍，且圆C₂的面积为4π，椭圆C₁的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，过椭圆C₁的上顶点A作一条斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆C₁的另一个交点是B，与圆C₂相交于点E，F．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）当|AB|•|EF|=3$\sqrt{7}$时，求直线l的方程，并求△F₂AB的面积（其中F₂为椭圆C₁的右焦点）

Answer 1

分析 （1）由圆的面积公式得πr²=4π，得r=2，从而求出c=$\sqrt{2}$，由椭圆C₁的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，求出a，b，由此能求出椭圆方程．
（2）设直线l：y=kx+1，求出圆心O到直线l的距离和|EF|，联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（3k²+1）x²+6kx=0，由此利用韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式能求出结果．

解答 解：（1）∵椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）和圆C₂：x²+y²=r²（r＞0），
圆C₂的直径是椭圆C₁焦距长的$\sqrt{2}$倍，且圆C₂的面积为4π，
∴πr²=4π，r＞0，解得r=2，
∴2r=$\sqrt{2}•2c$，∴r=$\sqrt{2}c$，∴c=$\sqrt{2}$，
又∵椭圆C₁的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，a²+b²=c²，∴a=$\sqrt{3}$，b=1，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$．
（2）由（1）知圆C₂的圆心O（0，0），r=$\sqrt{2}$，A（0，1），设直线l：y=kx+1，
圆心O到直线l的距离d=$\frac{1}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
|EF|=2$\sqrt{4-\frac{1}{{k}^{2}+1}}$=2$\sqrt{\frac{4{k}^{2}+3}{{k}^{2}+1}}$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（3k²+1）x²+6kx=0，
设B（x₁，y₁），则x₁=$\frac{-6k}{3{k}^{2}+1}$，
∴|AB|=$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+（{y}_{1}-1）^{2}}$=$\sqrt{（\frac{-6k}{3{k}^{2}+1}）^{2}+（\frac{-6{k}^{2}}{3{k}^{2}+1}）^{2}}$=$\frac{6|k|\sqrt{{k}^{2}+1}}{3{k}^{2}+1}$，
∵|AB|•|EF|=3$\sqrt{7}$，
∴|AB|•|EF|=$\frac{6|k|\sqrt{{k}^{2}+1}}{3{k}^{2}+1}$•$2\sqrt{\frac{4{k}^{2}+3}{{k}^{2}+1}}$=$\frac{12|k|\sqrt{4{k}^{2}+3}}{3{k}^{2}+1}$=3$\sqrt{7}$，
∴k⁴+6k²-7=0，∴（k²+7）（k²-1）=0，
∴k²=1，∵k＞0，∴k=1，
∴直线l：y=x+1．|AB|=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
点F₂到直线l的距离d₁=$\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}}$，
∴${S}_{△{F}_{2}AB}$=$\frac{1}{2}×\frac{3\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}}$=$\frac{3（\sqrt{2}+1）}{4}$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，考查三角形面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式的合理运用．