Question

17．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形．点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．
（Ⅰ）求证：AB∥EF；
（Ⅱ）若PA=AD，且平面PAD⊥平面ABCD，试证明AF⊥平面PCD；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，线段PB上是否存在点M，使得EM⊥平面PCD？（请说明理由）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得AB∥CD，从而AB∥面PCD，由此能证明AB∥EF．
（Ⅱ）推导出CD⊥AD，CD⊥AF，AF⊥PD，由此能证明AF⊥平面PCD．
（Ⅲ）若存在符合题意的点M，则平面PBC⊥平面PCD，而这与题意相矛盾，故在（Ⅱ）的条件下，线段PB上不存在点M，使得EM⊥平面PCD．

解答 证明：（Ⅰ）∵底面ABCD是菱形，∴AB∥CD，
又∵AB?面PCD，CD?面PCD
∴AB∥面PCD，
又∵A、B、E、F四点共面，且平面ABEF∩平面PCD=EF，
∴AB∥EF．
（Ⅱ）在正方形ABCD中，CD⊥AD，
又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴CD⊥平面PAD，又∵AF?平面PAD，∴CD⊥AF，
由（Ⅰ）知AB∥EF，
又∵AB∥CD，∴CD∥EF，
由点E是棱PC的中点，∴点F是棱PD中点，
在△PAD中，∵PA=AD，∴AF⊥PD，
又∵PD∩CD=D，
∴AF⊥平面PCD．
解：（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，线段PB上不存在点M，使得EM⊥平面PCD．
理由如下：
若存在符合题意的点M，
∵EM⊥平面PCD，EM?平面PBC，
∴平面PBC⊥平面PCD，
而这与题意相矛盾，
故在（Ⅱ）的条件下，线段PB上不存在点M，使得EM⊥平面PCD．

点评 本题考查二直线平行的证明，考查线面垂直的证明，考查满足条件的点是否存在的判断与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．