Question

5．如图，ABCD是平行四边形，已知AB=2BC=4，BD=2$\sqrt{3}$，BE=CE，平面BCE⊥平面ABCD．
（Ⅰ）证明：BD⊥CE；
（Ⅱ）若BE=CE=$\sqrt{10}$，求平面ADE与平面BCE所成二面角的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （I）根据面面垂直的性质定理即可证明BD⊥CE；
（Ⅱ）建立空间坐标系，利用向量法求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可求二面角的余弦值．

解答 证明：∵AB=2BC=4，BD=2$\sqrt{3}$，
∴AB=4，BC=2，
则BD²+AD²=AB²，
则△ADB是直角三角形，则AD⊥BD，则BC⊥BD，
∵BE=CE，
∴取BC的中点0，
则EO⊥BC，
∵平面BCE⊥平面ABCD．
∴EO⊥平面ABCD，
∵BD?平面ABCD，
∴EO⊥BD，
∵BC∩E=O，
∴BD⊥平面BCE，
则BD⊥CE；
（Ⅱ）若BE=CE=$\sqrt{10}$，
则EO=$\sqrt{B{E}^{2}-B{O}^{2}}$=$\sqrt{10-1}=\sqrt{9}$=3，
建立以O为坐标原点，OP，OB，OE分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：
则E（0，0，3），D（2$\sqrt{3}$，1，0），A（2$\sqrt{3}$，3，0），
则$\overrightarrow{DA}$=（0，2，0），$\overrightarrow{DE}$=（-2$\sqrt{3}$，-1，3），
设平面ADE的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{DA}$=2y=0，$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{DE}$=-2$\sqrt{3}$x-y+3z=0，
则y=0，-2$\sqrt{3}$x+3z=0，
令x=1，则z=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，即$\overrightarrow{m}$=（1，0，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），
平面BCE的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），
则cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{1×\sqrt{1+（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{2}}}$=$\frac{3}{\sqrt{33}}$=$\frac{\sqrt{33}}{11}$，
即平面ADE与平面BCE所成二面角的平面角的余弦值$\frac{\sqrt{33}}{11}$．

点评 本题主要考查面面垂直的判定以及二面角的求解，建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解，综合性较强，运算量较大．