Question

7．如图，矩形BDEF垂直于正方形ABCD，GC垂直于平面ABCD，且AB=DE=2CG=2．
（1）求三棱锥A-FGC的体积．
（2）求证：面GEF⊥面AEF．

Answer 1

分析 （1）由平面BDEF⊥平面ABCD得FB⊥平面ABCD，故FB⊥AB，又AB⊥BC，于是AB⊥平面FBCG，即AB为棱锥A-FCG的高；
（2）建立空间坐标系，分别求出平面AEF和平面EFG的法向量，证明他们的法向量垂直即可．

解答 解：（1）∵平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD=BD，FB⊥BD，FB?平面BDEF，
∴FB⊥平面ABCD，∵AB?平面ABCD，
∴AB⊥FB，又AB⊥BC
∴AB⊥平面BCGF，
∴V_A-FGC=$\frac{1}{3}{S}_{△FGC}•AB$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×2×2$=$\frac{2}{3}$．
（2）以B为原点，AB，BC，BF为坐标轴建立空间直角坐标系，如图：
则A（-2，0，0），E（-2，2，2），F（0，0，2），G（0，2，1），
∴$\overrightarrow{AE}$=（0，2，2），$\overrightarrow{EF}$=（2，-2，0），$\overrightarrow{FG}$=（0，2，-1）．
设平面AEF的法向量为$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（x，y，z），平面EFG的法向量为$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{AE}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{EF}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{EF}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{FG}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2y+2z=0}\\{2x-2y=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{2a-2b=0}\\{2b-c=0}\end{array}\right.$，
令z=1得$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（-1，-1，1），令c=1得$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，1）．
∴$\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}$=-$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+1$=0．
∴$\overrightarrow{{n}_{1}}⊥\overrightarrow{{n}_{2}}$，
∴平面AEF⊥平面EFG．

点评 本题考查了线面垂直的判定，面面垂直的性质与判定，棱锥的体积计算，属于中档题．