Question

17．已知数列{a_n}满足a₁+a₂+…+a_n=n²+3n（n∈N⁺），则$\frac{{a}_{1}^{2}}{2}+\frac{{a}_{2}^{2}}{3}+…+\frac{{a}_{n}^{2}}{n+1}$=2n²+6n．

Answer 1

分析 通过a₁+a₂+…+a_n=n²+3n与a₁+a₂+…+a_n-1=（n-1）²+3（n-1）作差，进而计算可知a_n=2（n+1），分别利用等差数列、等比数列的求和公式计算即得结论．

解答 解：∵a₁+a₂+…+a_n=n²+3n，
∴当n≥2时，a₁+a₂+…+a_n-1=（n-1）²+3（n-1），
两式相减得：a_n=（n²+3n）-[（n-1）²+3（n-1）]=2（n+1），
又∵a₁=1+3=4满足上式，
∴a_n=2（n+1），$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{n+1}$=4+4n，
∴$\frac{{a}_{1}^{2}}{2}+\frac{{a}_{2}^{2}}{3}+…+\frac{{a}_{n}^{2}}{n+1}$=4n+4•$\frac{n（n+1）}{2}$=2n²+6n，
故答案为：2n²+6n．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．