Question

7．在下列命题中：
①存在一个平面与正方体的12条棱所成的角都相等；
②存在一个平面与正方体的6个面所成较小的二面角都相等；
③存在一条直线与正方体的12条棱所成的角都相等；
④存在一条直线与正方体的6个面所成的角都相等．
其中真命题为①②③④．

Answer 1

分析 平面AB₁D₁与正方体的12条棱所成的角都相等，且平面AB₁D₁与正方体的6个面所成较小的二面角都相等；直线AC₁与正方体的12条棱所成的角都相等，且直线AC₁与正方体的6个面所成的角都相等．

解答 解：如图，连接AB₁D₁，则A₁-AB₁D₁为正三棱锥，则A₁B₁、A₁D₁、A₁A与平面AB₁D₁所成角相等，
则存在一个平面AB₁D₁与正方体的12条棱所成的角都相等，故①正确；
正三棱锥A₁-AB₁D₁的三个侧面与底面AB₁D₁所成角相等，
则存在一个平面AB₁D₁与正方体的6个面所成较小的二面角都相等，故②正确；
③存在一条直线AC₁与正方体的12条棱所成的角都相等，故③正确；
④存在一条直线AC₁与正方体的6个面所成的角都相等，故④正确．
故答案为：①②③④．

点评 本题考查命题真假的判断与应用，考查空间想象能力和思维能力，注意正方体结构特征的合理运用，是中档题．