Question

19．函数$y=\frac{4-cosx}{2cosx+3}$的值域为$[\frac{3}{5}，5]$．

Answer 1

分析 把已知函数解析式变为y=$\frac{11}{2（2cosx+3）}-\frac{1}{2}$，由cosx的范围求出$\frac{11}{2（2cosx+3）}-\frac{1}{2}$的范围得答案．

解答 解：$y=\frac{4-cosx}{2cosx+3}$=$\frac{-\frac{1}{2}（2cosx+3）+\frac{11}{2}}{2cosx+3}$=$\frac{11}{2（2cosx+3）}-\frac{1}{2}$，
∵-1≤cosx≤1，
∴-2≤2cosx≤2，则1≤2cosx+3≤5，
∴2≤2（2cosx+3）≤10，
则$\frac{11}{10}≤\frac{11}{2（2cosx+3）}≤\frac{11}{2}$，
∴$\frac{3}{5}≤$$\frac{11}{2（2cosx+3）}-\frac{1}{2}$≤5，
故答案为：$[\frac{3}{5}，5]$．

点评 本题考查函数的值域，考查了余弦函数的有界性，考查不等式的性质，是中档题．