Question

10．如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M是AB上一点，N是A₁C的中点，MN⊥平面A₁DC．
（1）求证：AD₁⊥平面A₁DC；
（2）求MN与平面ABCD所成的角．

Answer 1

分析 （1）利用正方体中的棱与面的关系可得CD⊥平面ADD₁A₁，进一步得到CD⊥AD₁，再结合AD₁⊥A₁D，运用线面垂直的判定得答案；
（2）由已知MN⊥平面A₁DC结合（1）的结论可得AD₁与平面ABCD所成的角，就是MN与平面ABCD所成的角，进一步可得∠D₁AD即为AD₁与平面ABCD所成的角，则答案可求．

解答 （1）证明：由ABCD-A₁B₁C₁D₁为正方体，得CD⊥平面ADD₁A₁，
AD₁?平面ADD₁A₁
∴CD⊥AD₁，
又AD₁⊥A₁D，且A₁D∩CD=D，
∴AD₁⊥平面A₁DC；
（2）解：∵MN⊥平面A₁DC，
又由（1）知AD₁⊥平面A₁DC，
∴MN∥AD₁，
∴AD₁与平面ABCD所成的角，就是MN与平面ABCD所成的角，
∵D₁D⊥平面ABCD，
∴∠D₁AD即为AD₁与平面ABCD所成的角，
由正方体可知$∠{D}_{1}AD=\frac{π}{4}$，
∴MN与平面ABCD所成的角为$\frac{π}{4}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判断，考查了线面角，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．