Question

5．对于函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{sinπx，x∈[0，2]}\\{\frac{1}{2}f（x-2），x∈（2，+∞）}\end{array}\right.$，有下列5个结论：
①任取x₁，x₂∈[0，+∞），都有|f（x₁）-f（x₂）|≤2；
②函数y=f（x）在区间[4，5]上单调递增；
③f（x）=2kf（x+2k）（k∈N₊），对一切x∈[0，+∞）恒成立；
④函数y=f（x）-ln（x-1）有3个零点；
⑤若关于x的方程f（x）=m（m＜0）有且只有两个不同实根x₁，x₂，则x₁+x₂=3．
则其中所有正确结论的序号是①④⑤．（请写出全部正确结论的序号）

Answer 1

分析 作出f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{sinπx，\;\;\;x∈[0，2]}\\{\frac{1}{2}f（x-2），x∈（2，+∞）}\end{array}\right.$的图象，分别利用函数的性质进行判断即可．

解答 解：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{sinπx，\;\;\;x∈[0，2]}\\{\frac{1}{2}f（x-2），x∈（2，+∞）}\end{array}\right.$的图象如图所示：
①∵f（x）的最大值为1，最小值为-1，
∴任取x₁、x₂∈[0，+∞），都有|f（x₁）-f（x₂）|≤2恒成立，故①正确；
②函数在区间[4，5]上的单调性和[0，1]上的单调性相同，则函数y=f（x）在区间[4，5]上不单调；故②错误；
③f（$\frac{1}{2}$）=2f（$\frac{1}{2}$+2）=4f（$\frac{1}{2}$+4）=6f（$\frac{1}{2}$+6）≠8f（$\frac{1}{2}$+8），故不正确；故③错误，
④如图所示，函数y=f（x）-ln（x-1）有3个零点；故④正确，
⑤当1≤x≤2时，函数f（x）关于x=$\frac{3}{2}$对称，若关于x的方程f（x）=m（m＜0）有且只有两个不同实根x₁，x₂，
则$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{3}{2}$，则x₁+x₂=3成立，故⑤正确，
故答案为：①④⑤．

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及函数的性质，利用分段函数的表达式，作出函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．