Question

17．下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为（　　）

• A． y=x+1
• B． y=-x³
• C． y=$\frac{1}{x}$
• D． y=x|x|

Answer 1

分析 根据奇函数的定义，奇函数图象的对称性，以及函数单调性定义，反比例函数的单调性，二次函数单调性，及分段函数单调性的判断便可判断出每个选项的正误，从而找出正确选项．

解答 解：A．y=x+1的图象不关于原点对称，不是奇函数，∴该选项错误；
B．x增大时，x³增大，-x³减小，即y减小，∴y=-x³在定义域R上为减函数，∴该选项错误；
C．反比例函数$y=\frac{1}{x}$在定义域内没有单调性，∴该选项错误；
D．y=x|x|的定义域为R，且（-x）|-x|=-x|x|；
∴该函数为奇函数；
$y=x|x|=\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}}&{x≥0}\\{-{x}^{2}}&{x＜0}\end{array}\right.$；
∴y=x|x|在[0，+∞），（-∞，0）上单调递增，且0²=-0²；
∴该函数在定义域R上是增函数，∴该选项正确．
故选D．

点评 考查奇函数的定义，奇函数图象的对称性，函数单调性的定义，以及根据函数单调性定义判断函数单调性的方法，反比例函数的单调性，含绝对值函数的处理方法：去绝对值号，以及二次函数和分段函数单调性的判断．