Question

12．已知点P（3，4）和圆C：（x-1）²+y²=4，则|CP|=$2\sqrt{5}$，过点P与圆C相切的直线方程为x=3或y=$\frac{3}{4}x+\frac{7}{4}$．

Answer 1

分析 由圆的方程求得圆心坐标，由两点间的距离公式求得|CP|；由题意画出图形，对切线的斜率分类讨论，当切线的斜率不存在时，直接写出切线方程，当切线的斜率存在时，
设出切线方程，由圆心到切线的距离等于圆的半径求得k，可得切线方程．

解答 解：如图
∵C（1，0），P（3，4），
∴|CP|=$\sqrt{（3-1）^{2}+（4-0）^{2}}=2\sqrt{5}$；
当过点P与圆C相切的直线的斜率不存在时，切线方程为x=3；
当过点P与圆C相切的直线的斜率存在时，
设切线方程为y-4=k（x-3），即kx-y-3k+4=0，
由圆心到切线的距离等于圆的半径可得：$\frac{|k-3k+4|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=2$，
解得：k=$\frac{3}{4}$，
∴此时的切线方程为y=$\frac{3}{4}x+\frac{7}{4}$．
∴过点P与圆C相切的直线方程为x=3或y=$\frac{3}{4}x+\frac{7}{4}$．
故答案为：$2\sqrt{5}$，x=3或y=$\frac{3}{4}x+\frac{7}{4}$．

点评 本题考查圆的切线方程，考查了数形结合的解题思想方法和分类讨论的数学思想方法，训练了点到直线距离公式的应用，是中档题．