Question

2．设{a_n}是等比数列，公比为q（q＞0且q≠1），4a₁，3a₂，2a₃成等差数列，且它的前4项和为S₄=15．
（1）求{a_n}通项公式；    
（2）令b_n=a_n+2n（n=1，2，3…），求{b_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）通过4a₁，3a₂，2a₃成等差数列，利用首项、公比表示出前三项计算可知公比为2，利用前四项和计算可知首项，进而可得通项公式；
（2）通过（1）可知b_n=2^n-1+2n，进而利用分组法求和即可．

解答 解：（1）∵4a₁，3a₂，2a₃成等差数列，
∴2×3a₂=4a₁+2a₃，
又∵数列{a_n}是等比数列，
∴6a₁q=4a₁+2${a}_{1}{q}^{2}$，即q²-3q+2=0，
解得：q=2或q=1（舍），
又∵S₄=15，
∴$\frac{{a}_{1}（1-{2}^{4}）}{1-2}$=15，即a₁=1，
∴数列{a_n}是首项为1、公比为2的等比数列，
∴数列{a_n}通项公式a_n=2^n-1；    
（2）由（1）可知b_n=2^n-1+2n（n=1，2，3…），
∴数列{b_n}的前n项和为$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$+2•$\frac{n（n+1）}{2}$=2ⁿ+n²+n-1．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查分组法求和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．