Question

10．若两函数y=x+a与y=$\sqrt{1-2{x}^{2}}$的图象有两个交点A、B、O是坐标原点，当△OAB是直角三角形时，则满足条件的所有实数a的值的乘积为$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 把已知曲线方程变形，然后画出图形，由图形可知，△OAB是直角三角形，包括∠AOB与∠OAB为直角两种情况，然后分类求出a的值，作积得答案．

解答 解：由y=$\sqrt{1-2{x}^{2}}$，得2x²+y²=1（y≥0）
作出两函数y=x+a与y=$\sqrt{1-2{x}^{2}}$的图象如图，
当OA⊥AB时，OA所在直线方程为y=-x，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x}\\{2{x}^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，解得A（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
把A的坐标代入y=x+a，得a=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+a}\\{2{x}^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得3x²+2ax+a²-1=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{2a}{3}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{{a}^{2}-1}{3}$，
当OA⊥OB时，-$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$•（-$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$）=-1，即y₁y₂=-x₁x₂，
∴（x₁+a）（x₂+a）=-x₁x₂，
则a（x₁+x₂）+2x₁x₂+a²=0，
∴-$\frac{2{a}^{2}}{3}$+$\frac{2{a}^{2}-2}{3}$+a²=0，解得a=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴满足条件的所有实数a的值的乘积为$\frac{2\sqrt{3}}{3}×\frac{\sqrt{6}}{3}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查曲线与方程，考查了数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题．