Question

5．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1+（-1）ⁿa_n=2n，其前n项和为S_n，则$\frac{{S}_{2016}}{2016}$1009．

Answer 1

分析 由a₁=1，a_n+1+（-1）ⁿa_n=2n，可得：a_2n+1+a_2n=4n，a_2n-a_2n-1=4n-2．于是a_2n+1+a_2n-1=2，a_2n+2+a_2n=8n+2．利用“分组求和”即可得出．

解答 解：∵a₁=1，a_n+1+（-1）ⁿa_n=2n，
∴a₂-a₁=2，可得a₂=3．
a_2n+1+a_2n=4n，a_2n-a_2n-1=4n-2．
∴a_2n+1+a_2n-1=2，a_2n+2+a_2n=8n+2．
∴S₂₀₁₆=（a₁+a₃）+（a₅+a₇）+…+（a₂₀₁₃+a₂₀₁₅）+（a₂+a₄）+…+（a₂₀₁₄+a₂₀₁₆）
=1008+（8×1+2）+（8×3+2）+…+（8×1007+2）
=1008+8×$\frac{504×（1+1007）}{2}$+2×504
=1008×2018，
∴$\frac{{S}_{2016}}{2016}$=$\frac{1008×2018}{2016}$=1009．
故答案为：1009．

点评 本题考查了分类讨论方法、分组求和、等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．