Question

13．在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA⊥PC，AC⊥BC，D为AB的中点，M为PD的中点，N在棱BC上．
（Ⅰ）当N为BC的中点时，证明：DN∥平面PAC；
（Ⅱ）求证：PA⊥平面PBC；
（Ⅲ）是否存在点N使得MN∥平面PAC？若存在，求出$\frac{CN}{CB}$的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角形中位线定理得DN∥AC，由此能证明DN∥平面PAC．
（Ⅱ）由已知得BC⊥平面PAC，PA⊥BC，PA⊥PC，由此能证明PA⊥平面PBC．
（Ⅲ）取AD中点E，连结ME、NE，推导出平面MEN∥平面PAC，从而得到存在点N，当$\frac{CN}{CB}=\frac{1}{4}$时，MN∥平面PAC．

解答 证明：（Ⅰ）∵D为AB的中点，N为BC的中点，
∴DN∥AC，
∵DN?平面PAC，AC?平面PAC，
∴DN∥平面PAC．
（Ⅱ）∵平面PAC⊥平面ABC，AC⊥BC，
∴BC⊥平面PAC，
∵PA?平面PAC，∴PA⊥BC，
∵PA⊥PC，PC∩BC=C，
∴PA⊥平面PBC．
解：（Ⅲ）存在点N，当$\frac{CN}{CB}=\frac{1}{4}$时，MN∥平面PAC．
理由如下：
取AD中点E，连结ME、NE，
∵M为PD中点，∴ME∥PA，
∵D为AB中点，E为AD中点，∴$\frac{AE}{AB}=\frac{1}{4}$，
又∵$\frac{CN}{CB}$=$\frac{1}{4}$，∴EN∥AC，
∵ME∩NE=E，ME、EN?平面MEN，PA、AC?平面PAC，
∴平面MEN∥平面PAC，
∵MN?平面MEN，∴MN∥平面PAC．
∴存在点N，当$\frac{CN}{CB}=\frac{1}{4}$时，MN∥平面PAC．

点评 本题考查线面平行的证明，考查线面垂直的证明，考查满足线面平行的点是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．