Question

3．已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱长都为1，M是底面BC边上的中点，N是侧棱CC₁上的点，且$CN=\frac{1}{4}C{C_1}$，则AB₁与MN所成的角是$\frac{π}{2}$．

Answer 1

分析 取AC中点O，A₁C₁中点D，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AB₁与MN所成的角的大小．

解答 解：取AC中点O，A₁C₁中点D，
以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，
∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱长都为1，M是底面BC边上的中点，N是侧棱CC₁上的点，且$CN=\frac{1}{4}C{C_1}$，
∴A（（0，-$\frac{1}{2}$，0），B₁（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0，1），M（$\frac{\sqrt{3}}{4}$，$\frac{1}{4}$，0），N（0，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$），
$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，1），$\overrightarrow{MN}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{4}$，$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4}$），
∴$\overrightarrow{A{B}_{1}}•\overrightarrow{MN}$=-$\frac{3}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{4}$=0．
∴AB₁与MN所成的角是$\frac{π}{2}$．
故答案为：$\frac{π}{2}$．

点评 本题考查空间中两条异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．