Question

10．已知数列满足a_n=n•$\frac{1}{{3}^{n-1}}$，求{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 利用错位相减法计算即得结论．

解答 解：∵a_n=n•$\frac{1}{{3}^{n-1}}$，
∴S_n=1•$\frac{1}{{3}^{0}}$+2•$\frac{1}{3}$+…+n•$\frac{1}{{3}^{n-1}}$，
$\frac{1}{3}$S_n=1•$\frac{1}{3}$+2•$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+（n-1）•$\frac{1}{{3}^{n-1}}$+n•$\frac{1}{{3}^{n}}$，
两式相减得：$\frac{2}{3}$S_n=1+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n-1}}$-n•$\frac{1}{{3}^{n}}$
=$\frac{1-\frac{1}{{3}^{n}}}{1-\frac{1}{3}}$-n•$\frac{1}{{3}^{n}}$
=$\frac{3}{2}$-$\frac{2n+3}{2}$•$\frac{1}{{3}^{n}}$，
∴S_n=$\frac{3}{2}$[$\frac{3}{2}$-$\frac{2n+3}{2}$•$\frac{1}{{3}^{n}}$]=$\frac{9}{4}$-$\frac{2n+3}{4}$•$\frac{1}{{3}^{n-1}}$．

点评 本题考查数列的前n项和，考查错位相减法，注意解题方法的积累，属于中档题．